在本章中，我们只重点讨论《几何原本》的第一卷；其后几卷，我们将在第3章讨论。第一卷一开始就突兀地提出了一系列有关平面几何的定义。（欧几里得的全部引文均摘自托马斯·希思编辑的百科全书《欧几里得的<几何原本>十三卷》。）其中一些定义如下：
定义1 点是没有部分的。
定义2 线只有长度而没有宽度。
定义4 直线上各点均匀地排列。
欧几里得今天的学生会发现这些定义的措词都是不可接受的，而且还有点儿离奇有趣。显然，在任何逻辑系统中，并非每个术语都是可以定义的，因为定义本身又是由其他术语组成的，而那些术语也必须定义。如果一个数学家试图对每个概念都给出定义，那么，人们一定会批评他在制造一个庞大的循环论证的怪圈。例如，欧几里得所说的“没有宽度”究竟是什么意思？而“各点均匀地排列”的专业含义又是什么？
从现代观点来看，一个逻辑系统总是始于一些未经定义的术语，而以后所有的定义都与这些术语有关。人们肯定会尽力减少这些未定义术语的数量，但这些术语的出现却是不可避免的。对于现代几何学家来说，“点”和“直线”的概念就始终未经定义。像欧几里得给出的这些陈述，有助于我们在头脑中形成某些图像，并非完全没有益处。但是，以精准的、合乎逻辑的定义要求来看，这最初的几条定义是不能令人满意的。
所幸他后来的定义都比较成功，其中一些非常突出，纳入了我们对第一卷的讨论中，值得予以评述。
定义10 一条直线与另一条直线相交，如果两个邻角相等，则这两个邻角都是直角，且其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
现代读者可能会觉得这很奇怪，欧几里得并没有用90°这个术语来定义直角。实际上，在《几何原本》中，也没有任何一个地方讲到“度”是角的测量单位。在这部书中，唯一有意义的角测量是直角，正如我们所看到的那样，欧几里得将直角定义为一条直线上两个相等的邻角之一。
定义15 圆是由一条线包围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接而成的所有线段都相等。
显然，“其内有一点”是指圆心，而他所说的相等的“线段”则是半径。
欧几里得在定义19至定义22中，定义了三角形（由三条直线围成的平面图形）、四边形（由四条直线围成的平面图形）和一些特殊的子类，如等边三角形（三条边都相等的三角形）和等腰三角形（“只有两条边相等”的三角形）。他最后一条定义十分重要。
定义23 平行直线是在同一平面且向两个方向无限延伸的直线，在不论哪个方向它们都不相交。
请注意，欧几里得没有用“处处等距”的术语来定义平行线。他的定义更为简单，而且有更少的逻辑陷阱：平行线就是在同一平面内且不相交的直线。
基于这些定义，欧几里得提出了5个几何公设。请不要忘记，这些都是欧几里得体系中的“已知”，是不言自明的真理。他当然对此必须审慎地选择，以避免重叠或内部矛盾。
公设1 从任一点到任一点（可）作一条直线。
公设2 一条有限直线（可）沿直线继续延长。
稍想片刻我们就可以看出，这前两个公设所支持的图形恰好是我们可以用无刻度直尺构造出的图形。例如，如果几何学家想用一条直线连接两点（这正是可以用直尺完成的作图），则公设1为此提供了合理的依据。
公设3 以任意点为圆心及任意的（半径），（可以）作一个圆。
这样，公设3就为以已知点为圆心，以已知距离为半径，用圆规作圆提供了相应的合理根据。因此，这前三个公设加在一起，就为欧几里得作图工具的全部用途奠定了理论基础。
是否确实如此呢？人们只要回想一下自己的几何作图训练，就会想起圆规的另一个用途，即将某个固定长度从平面的一部分转移到另一部分。也就是说，已知一条线段，拟在另一处复制其长度，我们只要将圆规的尖端放在线段的一端，并将圆规的铅笔端对准线段的另一端，然后，将圆规固定，并拿起圆规，放在需要复制线段的位置。这是一种非常简单，又非常有用的做法。但是，按照欧几里得的规则，这种做法却是不允许的，因为在他的著作中，没有一个地方提出一种公设，允许用这种方法转移长度。因此，数学家们常常称欧几里得的圆规是“可折叠的”。就是说，虽然圆规完全有能力作圆（如公设3所保证的），但只要把圆规从平面拿起，它就闭拢了，无法保持打开的状态。
造成这种情况的原因究竟是什么呢？欧几里得为什么不再增加一条公设，以支持这一非常重要的转移长度的方法呢？答案十分简单：他不需要假定这样一种方法作为公设，因为他将这种方法给证明出来了，并将其作为第一卷的第3个命题。也就是说，虽然欧几里得的圆规一从纸上拿起来就变成“折叠”的了，但他的确提出了一种十分巧妙的转移长度的方法，并证明了他的方法为什么奏效。欧几里得令人仰慕之处就在于，他尽力避免假定他实际上能够推导出来的公设，因而使公设的数目控制在绝对最小的范围内。
公设4 所有直角都相等。
这一公设与作图无关，而是提供了一个贯穿于整个欧几里得几何体系的统一的比较标准。定义10引入了直角概念，而现在，欧几里得则假定任何两个直角，不论在平面的什么位置，都相等。基于这一公设，欧几里得提出了一个在希腊数学界引起最大争议的结论，即公设5。
公设5 一条直线与两条直线相交，若在某一侧的两内角之和小于两直角之和，则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。
如图2-1所示，这一公设的意思是说，如果α+β小于两个直角之和，则直线AB与CD相交于右侧。公设5常常被人们称为欧几里得的平行线公设。这显然有点儿用词不当，因为实际上这一公设规定了使两条直线相交的条件，因此，根据定义23，更准确的名称应该是不平行公设。
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| （点击查看大图）图 2-1 |
显然，这一条公设与其他公设大不相同。它的行文较长，而且需要有图帮助理解，似乎远不是那种不证自明的真理。这条公设看来过于复杂，与无伤大雅的“所有直角都相等”显然不属同一类。实际上，许多数学家都坚信这第5条公设其实就是一条定理。他们认为，既然欧几里得不需要假定可用圆规转移长度，那他也不需要假定这样一条公设，因为他完全可以根据更基本的几何性质来证明这一点。有证据表明，欧几里得自己也对这个问题感到有点儿不安，因为他在第一卷的演绎中一直尽力避免应用这一平行线公设。也即，在前28个命题的推导过程中，他对其他的公设都运用自如，想多早用就多早用，想用多少次就用多少次，可唯独这第5条公设，他一直就没有用。但诚如“后记”中所述，怀疑是否需要这一公设是一回事，作出实际证明则是另一回事。
他暂且不谈这一有争议的公设，接下来，欧几里得又提出了5个公理，从而完成了他的准备工作。这5个公理也都是不证自明的真理，但具有更一般的性质，不仅仅针对几何学。这些公理如下。
公理1 与同一事物相等的事物，彼此也相等。
公理2 等量加等量，其和仍相等。
公理3 等量减等量，其差仍相等。
公理4 彼此能重合的事物是全等的。
公理5 整体大于部分。
在这5个公理中，只有公理4有点儿让人费解。显然，欧几里得的意思是，如果一个图形能够刚性不变地从纸上某一位置拿起，放到第二个图形上，且两个图形完全重合，则两个图形在各个方面都相等——即它们有相等的角和相等的边等。长期以来，人们认为，公理4具有某种几何特征，应该归入公设的范围。
这些假定的陈述就是《几何原本》这整座大厦的奠基之石。现在，我们可以再乘机回过头来看看伯特兰·罗素，听听他在自传中描述的另一段有趣的表白。
早就有人对我说欧几里得证明了不少东西，但看到他最先摆出的是些公理，我不免倍感失望。起初，我拒绝接受这些公理，除非哥哥能讲明其中的道理，但他说：“如果你不接受它们，我们就无法继续。”我为了能继续学习，勉强接受了它们。
